Question

【題目】（2014湖南懷化）兩個城鎮A、B與兩條公路ME、MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現電信部門需在C處修建一座信號發射塔，要求發射塔到兩個城鎮A、B的距離相等，到兩條公路ME、MF的距離也必須相等，且在∠FME的內部．

（1）那么點C應選在何處？請在圖中，用尺規作圖找出符合條件的點C（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）；

（2）設AB的垂直平分線交ME于點N，且km，在M處測得點C位于點M的北偏東60°方向，在N處測得點C位于點N的北偏西45°方向，求點C到公路ME的距離．

Answer 1

【答案】（1）答圖如圖見解析；（2）點C到公路ME的距離為2km．

【解析】

（1）到城鎮A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點即為所求作的點C．

（2）作CD⊥MN于點D，由題意得：∠CMN＝30°，∠CND＝45°，分別在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的長，從而求得CD的長即可．

（1）答圖如圖：

（2）作CD⊥MN于點D，

由題意得：∠CMN＝30°，∠CND＝45°，

∵在Rt△CMD中，＝tan∠CMN，

∴MD＝＝；

∵在Rt△CND中，＝tan∠CNM，

∴ND＝＝CD；

∵MN＝2（+1）km，

∴MN＝MD+DN＝CD+CD＝2（+1）km，

解得：CD＝2km．

故點C到公路ME的距離為2km．