Question

【題目】如圖1，直線l : 經過定點P，交x、y軸于A、B兩點.

（1）如圖1，直接寫出點P的坐標__________________；

（2）如圖2，當k=—1時，點C為y軸負半軸上一動點，過點P作PD⊥PC交x軸于點D，M、N分別為CD、OA的中點，求的值；

（3）如圖3，E、F兩點在射線OP上移動，EF=，點E向上移動2個單位得到點G，點E橫坐標為 t（t>0），在x軸負半軸上有點H（—2t，0），FG與HE相交于Q點，求證：點Q在某條直線上運動，并求此直線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）（2，2）；（2）；（3）點Q在直線上運動.

【解析】

（1）將直線l解析式變形可得到定點坐標；

（2）過點P作EF∥x軸，過點D作DF⊥EF垂足為F，首先證明△EPC≌△FDP，設C（0，m），則PF=CE=2-m，易得D（4-m，0），然后根據k=-1求出A點坐標，可得AD=-m，利用中點坐標公式和兩點間距離公式求出MN，問題得解；

（3）如圖3，延長GE交x軸于點J，則GJ⊥x軸，過點F作FK⊥GJ于點K，由OP所以直線解析式為y=x，可求得F點、G點坐標，然后用待定系數法求出直線HE和直線FG解析式，求出交點Q的坐標，即可解得點Q在直線上運動.

解：（1）∵，

∴當x=2時，y=2，

∴定點P的坐標是（2，2）；

（2）如圖2，過點P作EF∥x軸，過點D作DF⊥EF垂足為F，

∵P（2，2），∴PE=OE=DF=2，

∵PD⊥PC，

∴∠EPC+∠FPD=90°，

∵∠EPC+∠ECP=90°，

∴∠FPD=∠ECP，

在△EPC和△FDP中， ，

∴△EPC≌△FDP（AAS），

∴PF=CE，

設C（0，m），則PF=CE=2-m，

∴OD=PE+PF=4-m，

∴D（4-m，0），

當k=-1時，直線l解析式為：，

∴A（4,0），AD=-m，

∵M、N分別為CD、OA的中點，

∴M(，)，N（2,0），

∴MN=，

∴；

（3）如圖3，延長GE交x軸于點J，則GJ⊥x軸，過點F作FK⊥GJ于點K，

∵E、F兩點在射線OP上移動且P（2，2），

∴OP所以直線解析式為：y=x，

∴∠EOJ=∠EFK =45°，

∵EF=，

∴EK=FK=EG=2，

∵E（t,t），

∴G（t，t+2），F（t-2，t-2），

設直線HE解析式為：y=kx+b（k≠0），

將點E（t,t），H（-2t,0）代入可得：，

解得：，

∴直線HE解析式為：y=x+，

設直線FG解析式為：y=k1x+b1（k≠0），

將點 G（t，t+2），F（t-2，t-2）代入可得：，

解得：，

∴直線FG解析式為：y=2x+2-t，

聯立 ，解得：，

即Q(，)，

∵，

∴點Q在直線上運動.