Question

已知菱形ABCD的邊長為1．∠EAF=∠ADC=60°，∠EAF的兩邊分別交邊DC、CB于點E、F．當∠EAF繞點A旋轉時，點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．
（1）特殊發現：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為△AEF的外心；
（2）記△AEF的外心為點P．
①如圖2．求證：△AEF為等邊三角形；
②猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
（3）拓展運用：如圖3，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，當MN⊥AD于M時，

1

DM

+

1

DN

的值為

2

．

Answer 1

分析：（1）首先分別連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=CO，DO=BO，又由E、F分別為DC、CB中點，即可證得0E=OF=OA，則可得點O即為△AEF的外心；
（2）①連接AC，過點A分別作AG⊥CD于G，AH⊥CB于H，然后求證△AGE≌△AHF，求出∠EAF=60°，進而求證AE=AF，即△AEF為等邊三角形；
②首先分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度數，又由點P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上．
（3）當AE⊥DC時，△AEF的邊長最短，因而面積最小，此時點E、F分別為DC、CB中點．連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可

1

DM

+

1

DN

的值為2．

解答：解：（1）證明：如圖1，分別連接OE、0F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=CO，DO=BO，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=

1

2

∠ADC=

1

2

×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點，
∴OE=

1

2

CD，OF=

1

2

BC，AO=

1

2

AD，
∴0E=OF=OA，
∴點O即為△AEF的外心；

（2）①證明：如圖2，連接AC，過點A分別作AG⊥CD于G，AH⊥CB于H，
∵AC是菱形ABCD的對角線，AG⊥CD，AH⊥CB
∴AH=AG，
∵∠ADC=60°，
∴∠DCB=120°，
又∵AG⊥DC，AH⊥BC
∴∠GAH=60°，
又∵∠EAF=60°，
∴∠EAG=∠FAH
又∵AG=AH，∠AGE=∠AHF
∴△AGE≌△AHF，
∴AE=AF，
又∠EAF=60°，
∴△AEF為等邊三角形；

②猜想：外心P一定落在直線DB上．
證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵點P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ
∴點P在∠ADC的平分線上，
即點P落在直線DB上．

（3）當AE⊥DC時．△AEF面積最小，
此時點E、F分別為DC、CB中點．
連接BD、AC交于點P，由（1）
可得點P即為△AEF的外心．
如圖3．設MN交BC于點G，
設DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），則CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴△GBP≌△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴

CN

DN

=

CG

DM

，
∴

y-1

y

=

1-x

x

，
∴x+y=2xy，
∴

1

x

+

1

y

=2，
即

1

DM

+

1

DN

的值為2．
故答案是：2．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的外心的判定與性質，以及菱形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形也比較復雜，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．