Question

【題目】二次根式的化簡中，若被開方數還有根號，有的能將被開方數化成另一個二次根式的平方的形式，比如：，聰明的你可以繼續探究，當a，b，m，n為正整數時，若，則有，所以．模仿上述探究解決下列問題：

（1）當a，b，m，n為正整數時，，請用含m，n的代數式分別表示a，b：a= ，b= ．

（2）填空：=（ + ）2

（3）若，且a，m，n均為正整數，求a的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）=(1+2)2；（3）或或或.

【解析】

（1）模仿探究過程，將等式右邊利用完全平方公式展開，兩個實數相等，有理數部與有理數部相等，無理數部與無理數部相等的原則即可求解；

（2）利用待定系數法，設=(m+n)2，其中m，n為正整數，模仿探究過程，得到方程組求解即可；

（3）模仿探究過程，將等式右邊利用完全平方公式展開，兩個實數相等，有理數部與有理數部相等，無理數部與無理數部相等的原則得到方程組，利用a，m，n均為正整數，列舉法即可求解；

解：（1）∵，∴，∴

，；

（2）設=(m+n)2，依據上述方法得到方程組

，且m,n為正整數，

解得，

∴=(1+2)2，

（3）∵，

∴，且m，n，a均為正整數，

∴或或或，

∴或或或.