Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，連結BD、AC交于點O，過點O作于點H，以點O為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M．

①求證：DC是⊙O的切線．

②若且，求圖中陰影部分的面積．

③在②的條件下，P是線段BD上的一動點，當PD為何值時，的值最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】①證明見解析；②③

【解析】

①作，證明OH為圓的半徑，即可求解；

②利用，即可求解；

③作M關于BD的對稱點N，連接HN交BD于點P，，此時最小，即可求解．

解：①過點O作，垂足為G，

在菱形ABCD中，AC是對角線，則AC平分∠BCD，

∵，，

∴，

∴OH、OG都為圓的半徑，即DC是⊙O的切線；

②∵且，

∴，

，

∴，

在直角三角形OHC中，，

∴，，

∴，

；

③作M關于BD的對稱點N，連接HN交BD于點P，

∵，

∴，此時最小，

∵，

，

∴，

∴，

∴，

即：PH+PM的最小值為，

在Rt△NPO中，

，

在Rt△COD中，

，

則．