Question

【題目】如圖①拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸，y軸分別交于點A（﹣1，0），B（4，0），點C三點．

（1）試求拋物線的解析式；

（2）點D（3，m）在第一象限的拋物線上，連接BC，BD．試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請求出點P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣，）．（3）

【解析】

（1）將A,B,C三點代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可確定表達式；

（2）在y軸上取點G，使CG＝CD＝3，構建△DCB≌△GCB，求直線BG的解析式，再求直線BG與拋物線交點坐標即為P點，

（3）根據平行四邊形的對邊平行且相等，利用平移的性質列出方程求解，分情況討論.

解：如圖：

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸，y軸分別交于點A（﹣1，0），B（4，0），點C三點．

∴ 解得

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4．

（2）存在．理由如下：

y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+．

∵點D（3，m）在第一象限的拋物線上，

∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）

∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

連接CD，∴CD∥x軸，

∴∠DCB＝∠OBC＝45°，

∴∠DCB＝∠OCB，

在y軸上取點G，使CG＝CD＝3，

再延長BG交拋物線于點P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，

∴△DCB≌△GCB（SAS）

∴∠DBC＝∠GBC．

設直線BP解析式為yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得

k＝﹣，b＝1，

∴BP解析式為yBP＝﹣x+1．

yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+3x+4

當y＝yBP 時，﹣x+1＝﹣x2+3x+4，

解得x1＝﹣，x2＝4（舍去），

∴y＝，∴P（﹣，）．

（3） 理由如下，如圖

B(4，0),C(0，4) ，拋物線對稱軸為直線，

設N(，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)

第一種情況：當MN與BC為對邊關系時，MN∥BC,MN=BC,

∴4-=0-m，∴m=

∴﹣m2+3m+4=,

∴；

或∴0-=4-m，

∴m=

∴﹣m2+3m+4=,

∴；

第二種情況：當MN與BC為對角線關系，MN與BC交點為K,則K(2,2)，

∴

∴m=

∴﹣m2+3m+4=

∴

綜上所述，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標為 .