Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8k，BC=5k（k為常數，且k＞0），動點P在AB邊上（點P不與A、B重合），點Q、R分別在BC、DA邊上，且AP：BQ：DR=3：2：1．點A關于直線PR的對稱點為A′，連接PA′、RA′、PQ．

（1）若k=4，PA=15，則四邊形PARA′的形狀是 ；

（2）設DR=x，點B關于直線PQ的對稱點為B′點．

①記△PRA′的面積為S1，△PQB′的面積為S2．當S1＜S2時，求相應x的取值范圍及S2﹣S1的最大值；（用含k的代數式表示）

②在點P的運動過程中，判斷點B′能否與點A′重合？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）正方形；（2）當x=時，S2﹣S1有最大值，最大值為k2．（3）點B′不能與點A′重合．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）先證明四邊形PARA′是菱形，再根據∠A=90°，可以推出四邊形PARA′是正方形．

（2）①分別求出S1，S2，根據S1＜S2，確定自變量取值范圍，再構建S2﹣S1關于x的二次函數，根據二次函數的性質即可解決問題．

②點B'不能與點A'重合，利用反證法即可證明．

試題解析：（1）∵k=4，PA=15，AP：BQ：DR=3：2：1，∴DR=5，BC=AD=20，AR=AP=15，∵A、A′關于PR對稱，∴RA=RA′=PA=PA′，∴四邊形PARA′是菱形，∵∠A=90°，∴四邊形PARA′是正方形．

故答案為正方形；

（2）①由題意可知，BQ=2x，PA=3x，AR=5k﹣x，BP=8k﹣3x，

∵S1=S△PRA=ARAP=（5k﹣x）3x=﹣x2+kx，

S2=S△PQB=BPBQ=（8k﹣3x）2x=﹣3x2+8kx，

由S1＜S2可得，﹣ x2+＜﹣3x2+8kx，∵x＞0，∴x取值范圍為0＜x＜k，

∴S2﹣S1=﹣x2+kx=﹣（x﹣）2+k2，

∴當x=時，S2﹣S1有最大值，最大值為k2．

②點B'不能與點A'重合．理由如下：

如圖，假設點B'與點A'重合，則有∠APR+∠A'PR+∠B'PQ+∠BPQ=180°，

由對稱的性質可得，∠A'PR=∠APR，∠∠BPQ，∴∠APR+∠BPQ=×180°=90°，

由∠A=90°可得，∠APR+∠PRA=90°，∴∠PRA=∠BPQ，又∵∠A=∠B=90°

∴Rt△PAR∽Rt△QBP，∴，即PABP=ARQB．

∴3x（8k﹣3x）=（5k﹣x）2x，解得，x1=0（不合題意舍去），x2=2k，

又∵PA=PA'，PB=PB'=PA'，∴PA=PB，∴3x=8k﹣3x，解得x=k≠2k，

故點B'不能與點A'重合．