Question

如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，經過點A，O的圓分別與AB、AD相交于E、F，EF與AO相交于G，⊙I分別切OE，AB，BD于M，N，H，且AD=14．
（1）圖中有哪些三角形與△AGF相似（寫出結論不要求證明）；
（2）求AE+AF的值；
（3）若tan∠AEF=，求⊙I的半徑．

Answer 1

解：（1）與△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠BAO=∠DAO=45°，
∵∠DFO=∠AEO，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
∴AE+AF=AD=14；

（3）∵AE+AF=14，tan∠AEF=，
∴AE=6、AF=8、EF=10，
∵∠EAF=90°，
∴EF是直徑，
∴∠EOF=90°，
∵OE=FO，
∴EO=，
∵AB=14，OA=OB，∠AOB=90°，
∴BO=，
∴BE=AB-AE=14-6=8，
∴S_△BOE=×8×7×sin45°=28，
∴⊙I的半徑r====3-2．
分析：（1）根據題意可得與△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；
（2）首先可證△AEO≌△DFO，即可得AE=DF，繼而求得AE+AF的值；
（3）由AE+AF=14，tan∠AEF=，可求得AE=6、AF=8、EF=10，進一步可得EO=、BO=、BE=8，然后由△BOE的面積與⊙I的半徑的關系，即可求得⊙I的半徑．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角函數的應用，內切圓的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．