Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，點B在⊙O上，∠ACB=30°．

（1）利用尺規作∠ABC的平分線BD，交AC于點E，交⊙O于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖形中，求△ABE與△CDE的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）作圖見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）①以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角ABC兩邊于點M，N；②分別以點M，N為圓心，以大于MN的長度為半徑畫弧，兩弧交于一點；③作射線BE交AC與E，交⊙O于點D，則線段BD為△ABC的角平分線；

（2）連接OD，設⊙O的半徑為r，可證△ABE∽△DCE，在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，得到AB=AC=r，得出△ADC是等腰直角三角形，在Rt△ODC中，得出DC==，由相似三角形面積比等于相似比的平方即可得到結論．

試題解析：（1）如圖所示；

（2）如圖2，連接OD，設⊙O的半徑為r，∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC=r，∵∠ABD=∠ACD=45°，∵OD=OC，∴∠ABD=∠ACD=45°，∴∠DOC=90°，在Rt△ODC中，DC==，∴===．