Question

已知直線AB與x軸、y軸分別交于點A（-1，0）、點B（0，），O為坐標原點，∠ABO=30°．以線段AB為邊在第三象限內作等邊△ABC．
（1）求直線AB的解析式；　　　
（2）求出點C的坐標；
（3）若在第三象限內有一點P（m，），且△ABP的面積和△ABC的面積相等，求m的值．

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵直線AB與x軸、y軸分別交于點A（-1，0）、點B（0，），
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=-x-；

（2）∵A（-1，0）、B（0，），
∴AB===2，
∴∠ABO=30°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CB=2，∠OBC=∠ABC+∠ABO=60°+30°=90°，
∴點C的坐標是（-2，-）；

（3）過點C作CE∥AB，交y軸于點E，則∠BEC=∠ABO=30°，
∵BC=2，
∴BE===2，
∴OE=3，
∴點E的坐標是（0，-3），
設直線CE的解析式為y=ax+n（a≠0），
則a=-，n=-3，
∴直線CE的解析式為y=-x-3，
若△ABP的面積和△ABC的面積相等，
則點P在直線CE上，
則=-m-3，
m=-3．
分析：（1）先設直線AB的解析式為y=kx+b，再把點A（-1，0）和點B（0，）代入，求出k、b的值，即可得出直線AB的解析式；
（2）根據A、B點的坐標，求出AB的值，再根據∠ABO=30°，△ABC為等邊三角形，得出AB=CB=2，∠OBC=∠ABC+∠ABO=60°+30°=90°，即可求出點C的坐標；
（3）先過點C作CE∥AB，交y軸于點E，得出∠BEC=∠ABO=30°，根據特殊角的三角函數值求出OE的值，得出點E的坐標，再設直線CE的解析式為y=ax+n（a≠0），求出a，n的值，得出直線CE的解析式，若△ABP的面積和△ABC的面積相等，則點P在直線CE上，求出m的值．
點評：此題考查了一次函數綜合題，用到的知識點是：坐標與圖形性質，含30度直角三角形的性質，等邊三角形的性質，待定系數法確定一次函數解析式，平行線的性質，以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．