Question

【題目】如圖1，Rt△ACB中，AC=3，BC=4，有一動圓⊙O始終與Rt△ACB的斜邊AB相切于動點P，且⊙O始終經過直角頂點C．

（1）如圖2，當⊙O 運動至與直角邊AC相切時，求此時⊙O 的半徑r的長；

（2）試求⊙O 的半徑r的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由勾股定理先求出AB的值，根據切線長定理得出AP=AC，求出BP的長，再利用△ACB∽△OPB對應邊成比例得出圓的半徑.

（2）先作出⊙O最大半徑時的圖，結合三角函數計算r的值.

（1）連接OP，

在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，

∴AB===5,

∵AC,AP都是圓的切線，

∴AP=AC=3,

∴PB=2，

∵∠ACB=∠OPB=90°，∠B=∠B,

∴△ACB∽△OPB，

∴ ,

∴ ，

∴r= .

（2）如圖，當點P與點B重合時，⊙O的半徑最大，此時點O在BC的垂直平分線上，

過點O作OD⊥BC于點D，則BD=BC，

∵AB是切線，

∴∠ABO=90°，

∴∠ABC+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，

∴∠ABC=∠BOD,

∴sin∠BOD= sin∠ABC===,

∴OB=，

即半徑的最大值為.