Question

如圖，在□ABCD中，E是AB的中點，ED和AC相交于點F，過點F作FG∥AB，交AD于點G．

（1）求證：AB=3FG；
（2）若AB:AC=:，求證：．

Answer 1

見解析.

試題分析：（1）平行四邊形的性質、線段中點的定義推知AF:FC＝EF:ED＝1:2．然后由平行線的性質和平行線分線段成比例得得到：FG:CD＝AF:AC＝1:3，所以FG:AB＝1:3，即AB=3FG；
（2）根據已知條件可以設AB＝k，AC＝k，則AE＝k，AF＝k．通過證△AEF∽△ACB，得到對應角∠AEF=∠ACB．然后易證△FDG∽△ADF，所以DF:DA＝DG:DF，即DF²=DG•DA．
試題解析：
證明：（1）在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
又∵E是AB的中點，∴，
∵FG∥AB，∴FG∥CD，∴，
∴，∴AB=3FG．
（2）設AB＝k，AC＝k，
則AE＝k，AF＝k．
∴，，
∴．
又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB．
∵FG∥AB，AD∥BC；∴∠AEF=∠DFG，∠ACB=∠DAF，
∴∠DFG=∠DAF．
又∵∠FDG=∠ADF，∴△FDG∽△ADF，
∴，∴.