Question

拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C,已知拋物線的對稱軸為x=1，B(3,0),C(0,-3)，

（1）求二次函數的解析式；

（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于M,N兩點，若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

解：（1）將C(0,-3)代入，得 c＝3．

將c＝3，B(3,0)代入，

得 ．……….(1)

∵是對稱軸，

∴          (2)

將（2）代入（1）得：，    ．

所以，二次函數得解析式是．

（2）AC與對稱軸的交點P即為到B、C的距離之差最大的點．

∵C點的坐標為(0,-3)，A點的坐標為(-1,0)，

∴ 直線AC的解析式是，又對稱軸為，

∴ 點P的坐標(1,-6)．

（3）設，所求圓的半徑為r，則 ，

     ∵ 對稱軸為， ∴  ．

由（1）、（2）得：．……….(3)

將代入解析式，

得  ，………….(4)

整理得： ．

由于

當時，，

解得， ，  （舍去），

當時，，

解得，  ，  （舍去）．

所以圓的半徑是或．