Question

如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在軸的正半軸上，點C在軸的正半軸上，OA=5，OC=4.

（1）在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標；

（2）如圖②，若AE上有一動點P（不與A、E重合）自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為秒，過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE的平行線交DE于點N.求四邊形PMNE的面積S與時間之間的函數關系式；當取何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當為何值時，以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應時刻點M的坐標.

 

Answer 1

【答案】

（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．

BE==3．

∴CE=2．

∴E點坐標為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）²+2²=OD²．

解得：OD=．

∴D點坐標為（0，）．

（2）如圖①∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

又知AP=t，ED=，AE=5，

PM=×=，

又∵PE=5﹣t．

而顯然四邊形PMNE為矩形．

S_矩形PMNE=PM•PE=×（5﹣t）=﹣t²+t；

∴S_{四邊形PMNE}=﹣（t﹣）²+，

又∵0＜＜5．

∴當t=時，S_矩形PMNE有最大值．

（3）（i）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點．

過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴當t=時，（0＜＜5），△AME為等腰三角形．

此時M點坐標為（，）．

（ii）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD===．

過點M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴．

∴t=AP===2，

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，

∴當t=2時，（0＜2＜5），此時M點坐標為（5﹣2，）．

綜合（i）（ii）可知，t=或t=2時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，

相應M點的坐標為（，）或（5﹣2，）．

         

【解析】

（1）根據折疊的性質可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長，進而可求出CE的長，也就得出了E點的坐標． 在直角三角形CDE中，CE長已經求出，CD=OC﹣OD=4﹣OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的長，也就求出了D點的坐標． （2）很顯然四邊形PMNE是個矩形，可用時間t表示出AP，PE的長，然后根據相似三角形APM和AED求出PM的長，進而可根據矩形的面積公式得出S，t的函數關系式，根據函數的性質即可得出S的最大值及對應的t的值． （3）本題要分兩種情況進行討論： ①ME=MA時，此時MP為三角形ADE的中位線，那么AP=，據此可求出t的值，過M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點的橫坐標為A點橫坐標的一半，縱坐標為D點縱坐標的一半．由此可求出M的坐標． ②當MA=AE時，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長，然后根據相似三角形AMP和ADE來求出AP，MP的長，也就能求出t的值．根據折疊的性質，此時AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐標．