Question

已知關于x的二次函數y=x²﹣2mx+m²+m的圖象與關于x的函數y=kx+1的圖象交于兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂）
（1）當k=1，m=0，1時，求AB的長；
（2）當k=1，m為任何值時，猜想AB的長是否不變？并證明你的猜想．
（3）當m=0，無論k為何值時，猜想△AOB的形狀．證明你的猜想．
（平面內兩點間的距離公式）．

Answer 1

（1）AB=
（2）猜想：當k=1，m為任何值時，AB的長不變，即AB=。理由見解析。
（3）當m=0，k為任意常數時，△AOB為直角三角形，理由見解析。

分析：（1）先將k=1，m=0分別代入，得出二次函數的解析式為y=x²，直線的解析式為y=x+1，聯立，得x²﹣x﹣1=0，根據一元二次方程根與系數的關系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C，證明△ABC是等腰直角三角形，根據勾股定理得出，根據兩點間距離公式及完全平方公式求出AB=；同理，當k=1，m=1時，AB=。
（2）當k=1，m為任何值時，聯立，得x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣1=0，根據一元二次方程根與系數的關系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m﹣1，同（1）可求出AB=；
（3）當m=0，k為任意常數時，聯立，得x²﹣kx﹣1=0，根據一元二次方程根與系數的關系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=﹣1，根據兩點間距離公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形。
解：（1）當k=1，m=0時，如圖，

由得x²﹣x﹣1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，
過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C，
∵直線AB的解析式為y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形。
∴ 。
同理，當k=1，m=1時，AB=。
（2）猜想：當k=1，m為任何值時，AB的長不變，即AB=。理由如下：
由，得x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣1=0，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m﹣1。
∴。
（3）當m=0，k為任意常數時，△AOB為直角三角形，理由如下：
由，得x²﹣kx﹣1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=﹣1。
∴AB²=（x₁﹣x₂）²+（y₁﹣y₂）²=（x₁﹣x₂）²+（kx₁﹣kx₂）²=（1+k²）（x₁﹣x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂]=（1+k²）（4+k²）=k⁴+5k²+4。
又∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²。
∴△AOB為直角三角形。