Question

【題目】已知：在中，，，點為的中點.

（1）如圖1，、分別是、上的點，且，求證：為等腰直角三角形.

（2）如圖2，若、分別為，延長線上的點，仍有，其他條件不變，那么，是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）先連接AD，構造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；

（2）還是證明：，主要證∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再結合兩組對邊對應相等，所以兩個三角形全等．

（1）證明：連結，如圖1所示，

∵，，為的中點，

∴，，

∴，

又，

∴.

∴，，

∴.

∴為等腰直角三角形；

（2）若、分別是、延長線上的點，連結，如圖2所示，

∵，，為的中點，

∴，，

∴，

∴.

又，

∴，

∴，，

∴.

∴仍為等腰直角三角形.