Question

如圖，拋物線m：y=-與x軸的交點為A，B，與y軸的交點為C，頂點為M，已知點A的橫坐標為-2，點C的縱坐標為4，將拋物線m繞點B旋轉180°，得到新的拋物線n，它的頂點為D．
（1）求點M及點B的坐標；
（2）求拋物線n的函數表達式；
（3）設拋物線n與x軸的另一個交點為E，點P是線段ED上一個動點（P不與E，D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF，如果P點的坐標為（x，y），△PEF的面積為S，求S與x軸的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，試求出其最大值，若S沒有最大值，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將A（-2，0），C（0，4）代入y=-，
得，
解得，
∴拋物線m的解析式為y=-x²+x+4，
∵y=-x²+x+4=-（x²-6x）+4=-（x-3）²+，
∴頂點M的坐標為（3，），
解方程-x²+x+4=0，得x₁=-2，x₂=8，
∴點B的坐標為（8，0）．
故點M的坐標為（3，），點B的坐標為（8，0）；

（2）∵拋物線n是由拋物線m：y=-x²+x+4繞點B旋轉180°得到的，
∴M與D關于點B成中心對稱，
∴D的坐標為（13，-），
∴拋物線n的解析式為：y=（x-13）²-，即y=x²-x+36；

（3）∵點E與點A關于點B中心對稱，A（-2，0），B（8，0），
∴E的坐標為（18，0）．
設直線ED的解析式為y=px+q，
則，解得，
∴直線ED的解析式為y=x-．
又點P的坐標為（x，y），
∴S=x•（-y）=-x•（x-）=-x²+x=-（x-9）²+，
∵點P是線段ED上一個動點（P不與E，D重合），
∴13＜x＜18，
∴S=-（x-9）²+（13＜x＜18），
∵該拋物線開口向下，對稱軸為x=9，函數圖象位于對稱軸右側，y隨著x的增大而減小，
∴S在13＜x＜18范圍內沒有最大值．
故S與x的函數關系式為S=-（x-9）²+，自變量取值范圍是13＜x＜18，S沒有最大值．
分析：（1）先將A（-2，0），C（0，4）代入y=-，運用待定系數法求出拋物線m的解析式為y=-x²+x+4，再運用配方法求出頂點M的坐標，解方程-x²+x+4=0，即可得到點B的坐標；
（2）由點D、M關于點B成中心對稱，求出D點的坐標，從而得到拋物線n的解析式；注意由于開口方向相反，兩個拋物線的a值也相反；
（3）先運用待定系數法求出直線DE的解析式，再根據三角形的面積公式求出S與x的函數關系式，然后根據二次函數的性質及自變量的取值范圍即可確定S沒有最大值．
點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、運用待定系數法求函數的解析式、圖形變換、極值、三角形的面積等知識點，有一定的難度．第（3）問中，考查二次函數在指定區間上的極值，這是本題的一個易錯點，需要引起注意．