Question

（本題滿分14分，第（1）題4分，第（2）題4分，第（2）題6分）
在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E為底邊BC上一點，以點E為圓心，BE為半徑畫⊙E交直線DE于點F．
（1）如圖，當點F在線段DE上時，設BE，DF，試建立關于的函數關系式，
并寫出自變量的取值范圍；
（2）當以CD直徑的⊙O與⊙E與相切時，求的值；
（3）聯接AF、BF，當△ABF是以AF為腰的等腰三角形時，求的值。

Answer 1

(1) 過點作于點．
可得，；   ……2分
在Rt△DEG中，
∴，即
∴(負值舍去)（ ）…………………2+1分
（2）設的中點，聯結，過點作于點． 
；
⊙與⊙外切時，，在中，，
∴化簡并解得      ……………2分
⊙與⊙內切時，在中，，
∴，化簡并解得        ……………2分
綜上所述，當⊙與⊙相切時，或．
（3）①時，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，
∴，即                        …1分
在中，=               …1分
當點F在線段DE上時，由=3，解得；  …1分
當點F在線段DE延長線上時，由=3，解得；1分
②時，過點F作于點Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ
∴，                                         ……………1分
=，（負值舍去）；  ……………1分
綜上所述，當△ABF是以AF為腰的等腰三角形時，2、．

解析