Question

如圖，直線OA與反比例函數的圖象交于點A（3，3），向下平移直線OA，與反比例函數的圖象交于點B（6，m）與y軸交于點C，
（1）求直線BC的解析式；
（2）求經過A、B、C三點的二次函數的解析式；
（3）設經過A、B、C三點的二次函數圖象的頂點為D，對稱軸與x軸的交點為E．
問：在二次函數的對稱軸上是否存在一點P，使以O、E、P為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由直線OA與反比例函數的圖象交于點A（3，3），
得直線OA為：y=x，雙曲線為：，
點B（6，m）代入得，點B（6，），
設直線BC的解析式為y=x+b，由直線BC經過點B，
將x=6，，代入y=x+b得：，
所以，直線BC的解析式為；

（2）由直線得點C（0，），
設經過A、B、C三點的二次函數的解析式為
將A、B兩點的坐標代入，得：
，
解得
所以，拋物線的解析式為；

（3）存在．
把配方得，
所以得點D（4，），對稱軸為直線x=4
得對稱軸與x軸交點的坐標為E（4，0）．
由BD=，BC=，CD=，得CD²=BC²+BD²，所以，∠DBC=90°
又∠PEO=90°，若以O、E、P為頂點的三角形與△BCD相似，則有：
①，即，得，有P₁（4，），P₂（4，）
②，即，得PE=12，有P₃（4，12），P₄（4，-12）
所以，點P的坐標為（4，），（4，），（4，12），（4，-12）．
分析：（1）根據點A的坐標，即可確定直線OA以及反比例函數的解析式，根據所得反比例函數解析式即可確定點B的坐標，而OA、BC平行，那么它們的斜率相同，由此可確定直線BC的解析式；
（2）根據直線BC的解析式可求得C點坐標，然后可利用待定系數法求得該拋物線的解析式；
（3）根據（2）所得拋物線的解析式，可求得頂點D的坐標，即可得到BD、BC、CD的長，利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，根據拋物線對稱軸方程可得到E點坐標，進而可求得OE的長，若以O、E、P為頂點的三角形與△BCD相似，已知∠BDC=∠PEO=90°，那么有兩種情況需要考慮：
①△PEO∽△BDC，②△OEP∽△BDC．
根據上面兩組不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可得到PE的長，進而求出P點的坐標．（需要注意的是P點可能在E點上方也可能在E點下方）
點評：此題考查了用待定系數法確定函數解析式的方法、函數圖象上點的坐標意義、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等知識．要注意的是（3）題中，在相似三角形的對應邊和對應角不確定的情況下需要分類討論，以免漏解．