Question

如圖，已知直線y=-x+2與拋物線y=a（x+2）²相交于A、B兩點，點A在y軸上，M為拋物線的頂點。

（1）請直接寫出點A的坐標及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個動點（A、B兩端點除外），連接PM，設線段PM的長為1，點P的橫坐標為x，請求出l²與x之間的函數關系，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）A的坐標是（0，2） 拋物線的解析式是y=（x+1）2； （2）如圖，P為線段AB上任意一點，連接PM，過點P作PD⊥x軸于點D， 設P的坐標是（x，-x+2），則在Rt△PDM中， PM2=DM2+PD2， 即l2=（-2-x）2+（-x+2）2=x2+2x+8， 自變量x的取值范圍是：-5＜x＜0； （3）存在滿足條件的點P，連接AM， 由題意得，AM=， ①當PM=PA時，x2+2x+8=x2+（-x+2-2）2， 解得：x=-4，此時y=-×（-4）+2=4， ∴點P1（-4，4）； ②當PM=AM時，x2+2x+8=（2）2， 解得：x1=-，x2=0（舍去），此時y=-×（-）+2=， ∴點P2（-，）； ③當PA=AM時，x2+（-x+2-2）2=（2）2， 解得：x1=-，x2=（舍去），此時y=-×（-）+2=， ∴點P3（-，）， 綜上所述，滿足條件的點為P1（-4，4）、P2（-，）、P3（-， ）。