Question

已知直線l：y=-x+m（m≠0）交x軸、y軸于A、B兩點，點C、M分別在線段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，連接MC，將△ACM繞點M 旋轉180°，得到△FEM，則點E在y軸上, 點F在直線l上；取線段EO中點N,將ACM沿MN所在直線翻折，得到△PMG，其中P與A為對稱點.記：過點F的雙曲線為C₁，過點M且以B為頂點的拋物線為C₂，過點P且以M 為頂點的拋物線為C₃.

（1） 如圖，當m=6時，①直接寫出點M、F的坐標， ②求C₁、C₂的函數解析式；
（2）當m發生變化時， ①在C₁的每一支上，y隨x的增大如何變化？請說明理由。
                                     ②若C₂、C₃中的y都隨著x的增大而減小，寫出x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）①點Ｍ的坐標為（2，4），點F的坐標為（-2，8）．
      ② 設C₁的函數解析式為（．　　　　
              ∵C₁過點F（-2，8）　　　　
              ∴C₁的函數解析式為．
               ∵C₂的頂點B的坐標是（0，6）          
              ∴設C₂的函數解析式為
              ∵C₂過點M（2，4）
           ∴        
          ∴C₂的函數解析式為；
（2）依題意得，A（m，0），B（0，m）， 
        ∴點Ｍ坐標為（），點F坐標為（，）． 
      ①設C₁的函數解析式為（．
          ∵C₁過點F（，） 
               
         ∴在C₁的每一支上，y隨著x的增大而增大；
 ②答：當m＞0時，滿足題意的x的取值范圍為 0＜x＜； 
          當m＜0時，滿足題意的x的取值范圍為＜x＜0．