Question

【題目】如圖，已知拋物線y=（x+2）（x﹣4）與x軸交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；
（2）設動點N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小時n的值；
（3）P是拋物線上一點，請你探究：是否存在點P，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得x1=﹣2，x2=4，

∴點A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣，

∴點C（0，﹣）

（2）

解：將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣

∴點M的坐標為（1，﹣）

∴點M關于直線x=﹣2的對稱點M′的坐標為（﹣5，）

設直線M′B的解析式為y=kx+b

將點M′、B的坐標代入得：

解得：

所以直線M′B的解析式為y=．

將x=﹣2代入得：y=﹣，

所以n=﹣;

（3）

解：過點D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：

AD=，

BD=，

如下圖，①當P1AB∽△ADB時，

即：

∴P1B=6

過點P1作P1M1⊥AB，垂足為M1．

∴即：

解得：P1M1=6，

∵即：

解得：BM1=12

∴點P1的坐標為（﹣8，6）

∵點P1不在拋物線上，所以此種情況不存在；

②當△P2AB∽△BDA時，即：

∴P2B=6

過點P2作P2M2⊥AB，垂足為M2．

∴，即：

∴P2M2=2

∵，即：

∴M2B=8

∴點P2的坐標為（﹣4，2）

將x=﹣4代入拋物線的解析式得：y=2，

∴點P2在拋物線上．

由拋物線的對稱性可知：點P2與點P4關于直線x=1對稱，

∴P4的坐標為（6，2），

當點P3位于點C處時，兩三角形全等，所以點P3的坐標為（0，﹣），

綜上所述，點P的坐標為：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）時，以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似．

【解析】（1）令y=0可求得點A、點B的橫坐標，令x=0可求得點C的縱坐標；
（2）根據兩點之間線段最短作M點關于直線x=﹣2的對稱點M′，當N（﹣2，N）在直線M′B上時，MN+BN的值最小；
（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據相似三角形的性質求得PB的長度，然后可求得點P的坐標．
【考點精析】掌握軸對稱-最短路線問題和相似三角形的性質是解答本題的根本，需要知道已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．