Question

【題目】如圖，一次函數的函數圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；

（1）如果點P（m，）在第二象限內，試用含m的代數式表示四邊形AOPB的面積，并求當△APB與△ABC面積相等時m的值；

（2）如果△QAB是等腰三角形并且點Q在坐標軸上，請求出點Q所有可能的坐標；

（3）是否存在實數a，b使一次函數和y=ax+b的圖象關于直線y=x對稱？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣；（2）Q的坐標為（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣）或（0，+2）或（0，﹣2）或（0，）；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）過點P作PD⊥x軸于D，根據一次函數解析式求出點A、B的坐標，從而求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，然后求出∠ABO=30°，再根據S四邊形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO列式整理即可得解；根據S△APB=S四邊形AOPB﹣S△AOP表示出△APB的面積，再解直角三角形求出AC，然后求出△ABC的面積，列出方程求解即可；

（2）分①點A是頂角頂點，AB是腰時，求出OQ的長度，②點B是頂角頂點，AB是腰時，求出OQ的長度，然后寫出點Q的坐標，③AB是底邊時，分點Q在y軸上和點Q在x軸上兩種情況，利用等邊三角形的性質求解；

（3）求出A、B兩點關于直線y=x的對稱點的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式求出a、b，然后代入代數式進行計算即可得解．

解：（1）如圖，過點P作PD⊥x軸于D，

∵點P（m，）在第二象限內，

∴PD=，OD=﹣m，

令y=0，則﹣x+=0，

解得x=1，

令x=0，則y=，

∴點A（1，0），B（0，），

∴OA=1，OB=，

由勾股定理得，AB===2，

∴∠ABO=30°，

S四邊形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO，

=×（+）（﹣m）+×1×﹣×（﹣m）×，

=﹣m+，

∴四邊形AOPB的面積=﹣m+；

S△APB=S四邊形AOPB﹣S△AOP，

=﹣m+﹣×1×，

=﹣m+，

∵∠ABC=30°，

∴AC=ABtan30°=2×=，

∴S△ABC=×2×=，

∵△APB與△ABC面積相等，

∴﹣m+=，

解得m=﹣，

故，當△APB與△ABC面積相等時，m=﹣；

（2）①點A是頂角頂點，AB是腰時，AQ=AB=2，

若點Q在x正半軸，則OQ=AO+AQ=1+2=3，

若點Q在x軸負半軸，則OQ=AQ﹣AO=2﹣1=1，

若點Q在y軸負半軸，則OQ=BO=，

∴點Q的坐標為（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣），

②點B是頂角頂點，AB是腰時，BQ=AB=2，

若點Q在y軸正半軸，則OQ=BO+BQ=+2，

若點Q在y軸負半軸，則OQ=BQ﹣BO=2﹣，

若點Q在x軸負半軸，則OQ=AO=1，

∴點Q的坐標為（0，+2）或（0，﹣2）或（﹣1，0）；

③AB是底邊時，若點Q在y軸上，則OQ=OAtan30°=1×=，

若點Q在x軸上，則OQ=AO=1，

∴點Q的坐標為（0，）或（﹣1，0），

綜上所述，△QAB是等腰三角形時，坐標軸上點Q的坐標為（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣）或（0，+2）或（0，﹣2）或（0，）；

（3）∵A（1，0）關于y=x的對稱點為（0，1），

B（0，）關于y=x的對稱點為（，0），

∴，

解得，

∴==，

=，

=，

=﹣．