Question

16．用正方形紙折疊：將正方形紙片的一角折疊，使點A落在點A′處，折痕為EF，再把BE折過去與EA′重合，EH為折痕．

（1）AE=A′E，BE=B′E，∠FEH=90°；
（2）將正方形的形狀大小完全一樣的四個角按上面的方式折疊就得到了圖2如圖所示的正方形EFGH，且不重合的部分也是一個正方形；
①若點A′、B′、C′、D′恰好是B′E、C′H、D′G、A′F的中點，若正方形A′B′C′D′的面積是4，則大正方形ABCD的面積是36；
②如圖3，A′E=B′H=C′G=D′F=3，正方形ABCD的周長比正方形A′B′C′D′的周長的2倍小36，你能求出正方形A′B′C′D′的邊長嗎？

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質得到△A′EF≌△AEF，△B′EH≌△BEH，根據全等三角形的性質得到AE=A′E，BE=B′E，∠AEF=∠A′EF，∠BEH=∠B′EH，即可得到結論；
（2）①由正方形A′B′C′D′的面積是4，求得A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=2，根據線段中點的定義得到EB′=HC′=GD′=FA′=4，根據折疊的性質得BE=BE′=4，求得AB=AE+BE=6，根據正方形的面積即可得到結論；
②設正方形A′B′C′D′的邊長為x，根據題意列方程即可得到結論．

解答 解：（1）∵將正方形紙片的一角折疊，使點A落在點A′處，折痕為EF，再把BE折過去與EA′重合，EH為折痕，
∴△A′EF≌△AEF，△B′EH≌△BEH，
∴AE=A′E，BE=B′E，∠AEF=∠A′EF，∠BEH=∠B′EH，
∴∠FEH=∠FEA′+∠HEB′=$\frac{1}{2}$∠AEB=90°，
故答案為：A′E，B′E，90°；

（2）①∵正方形A′B′C′D′的面積是4，
∴A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=2，
∵點A′、B′、C′、D′恰好是B′E、C′H、D′G、A′F的中點，
∴EB′=HC′=GD′=FA′=4，
根據折疊的性質得BE=BE′=4，
∴AB=AE+BE=6，
∴正方形ABCD的面積是36；
故答案為：36；
②設正方形A′B′C′D′的邊長為x，
根據題意得：2×4x-36=4（x+3+3），
解得：x=15，
∴A′B′C′D′的邊長=15．

點評 本題考查了正方形的性質，折疊的性質，正方形的面積和周長的計算，線段中點的定義，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．