Question

已知四邊形ABCD，點E是射線BC上的一個動點（點E不與B、C兩點重合），線段BE的垂直平分線交射線AC于點P，聯結DP，PE.

（1）若四邊形ABCD是正方形，猜想PD與PE的關系，并證明你的結論.
（2）若四邊形ABCD是矩形，（1）中的PD與PE的關系還成立嗎？      （填：成立或不成立）.

（3）若四邊形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD= ，設AP=x，△PCE的面積為y,當AP>AC時，求y與x之間的函數關系式.

Answer 1

（1）見解析
（2）成立
（3）見解析

（1）PE＝PD，……………………………..(1分)
PE⊥PD  ……………………………..(2分)
①  點E在射線BC邊上,且交點P在對角線AC上時,連結PB

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。
又∵AP＝AP，∴△BAP≌△DAP（SAS）。
∴PB＝PD
∵點P在BE的垂直平分線上
∴PB=PE
∴PE＝PD      
∵△BAP≌△DAP，∴∠DPA＝∠APB.
又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，
∴∠DPA＝135°－∠ABP。
又∵PE＝PB，∴∠BPE＝180°－2∠PBE
∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）
－180°+2∠PBE ＝360°－270°+2∠ABP－180°+2∠PBE=90°
∴PE⊥PD                           ………………………..(3分)
② P、C兩點重合

                    ………………………..(4分)
③ 當點E在BC邊的延長線上且點P在對角
線AC的延長線上時,連結PB

同理可證∴△BAP≌△DAP（SAS）。
∴ PB=PD
∴∠PBA=∠PDA
∴∠PBE=∠PDC
∵點P在BE的垂直平分線上
∴PB=PE
∴∠PBE=∠PEB
∴∠PDC=∠PEB
∴∠DFC=∠EFP
∴∠EPF =∠DCF=90°
∴PE⊥PD                …………………………………………..(5分)
結論成立         
（3）（1）中的猜想不成立.               …………………………..(6分)
（4） ①當點P在線段AC上時
∵四邊形ABCD是矩形，AB=6
∴DC=AB=6
∴∠ABC=∠ADC=90°
∵cos∠ACD= 
∴AD=8，AC=10
作PQ⊥BC于點Q

∴PQ∥AB
∴=
∴=
∴BQ=x, ∴BE=x, ∴CE=x－8
∴△CPQ∽△CAB
∴=  ∴=
∴PQ=6-x
∴y=EC×PQ
=(x－8)( 6-x)
=-x²+x-24(5<x<10)          ……………………………..(7分)
②當點P在線段AC的延長線上時

∵PQ∥AB
∴△CPQ∽△CAB
∴=
∴=
∴PQ=x-6
∴=
∴=
∴CQ=x-8
∴BQ=x
∴BE=x
∴EC=x-8
∴y =EC×PQ
=(x－8) (x-6)
= -x+24(x>10)   ………………………………………..(8分)
[注]學生正確答案與本答案不同，請老師們酌情給分。