Question

在平面直角坐標系xOy中，A、B為反比例函數（x＞0）的圖象上兩點，A點的橫坐標與B點的縱坐標均為1，將（x＞0）的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A′，B點的對應點為B′．
（1）求旋轉后的圖象解析式；
（2）求A′、B′點的坐標；
（3）連接AB′、動點M從A點出發沿線段AB'以每秒1個單位長度的速度向終點B′運動；動點N同時從B′點出發沿線段B′A′以每秒1個單位長度的速度向終點A′運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為t秒，試探究：是否存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A為反比例函數（x＞0）的圖象上的點，A點的橫坐標為1，
∴A點坐標為（1，4）．
分別過A、A′作AM⊥y軸于M，A′N⊥x軸于N，連接OA，OA′．
∵將（x＞0）的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A'，
∴∠AOA′=90°，OA=OA′．
在△OAM與△OA′N中，∠AOM=∠A′ON=90°-∠AON，∠AMO=∠A′NO=90°，OA=OA′，
∴△OAM≌△OA′N，
∴OM=ON=4，AM=A′N=1，
∴A′的坐標為（4，-1），
∴旋轉后的圖象解析式為y=-；

（2）∵B為反比例函數（x＞0）的圖象上兩點，B點的縱坐標為1，
∴B（4，1），
又∵將（x＞0）的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A'，B點的對應點為B'，
上問求出A點坐標（1，4）的對應點A′的坐標為（4，-1），
同理求出B點坐標（4，1）的對應點B′的坐標為（1，-4）；

（3）設直線A′B′的解析式為y=kx+b，
則4k+b=-1，k+b=-4，
解得k=1，b=-5，
∴y=x-5，
∴∠A′B′A=45°．
如果△MNB'為等腰直角三角形，那么分兩種情況：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．
∵AM=B′N=t，∴B′M=AB′-AM=8-t．
①當∠B′NM=90°時，B′M=B′N，
∴8-t=t，解得t=8-8；
②當∠B′MN=90°時，B′N=B′M，
∴t=（8-t），解得t=16-8．
∵A′B′==3，AB′=8，
∴0≤t≤3．
又∵16-8＞3，
∴t=16-8舍去．
故當t=8-8時，△MNB'為等腰直角三角形．
分析：（1）首先把x=1代入反比例函數（x＞0）的解析式，求出對應的y值，得到A點坐標，然后由旋轉的性質得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分別過A、A′作AM⊥y軸于M，A′N⊥x軸于N，連接OA，OA′，易證△OAM≌△OA′N，得到A′的坐標，從而求出旋轉后的圖象解析式；
（2）上問已經求出A′的坐標，同樣求出點B′的坐標；
（3）首先運用待定系數法求出直線A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然后假設存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，那么分兩種情況討論：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．針對每一種情況，都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程，從而求出結果．
點評：此題綜合考查了反比例函數、等腰直角三角形、旋轉的性質等多個知識點．要注意（3）首先需根據已知條件確定哪些角可能是直角，要考慮到所有的情況，不要漏解．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．