Question

已知：拋物線M：y=x²+（m-1）x+（m-2）與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）若x₁x₂＜0，且m為正整數，求拋物線M的解析式；
（Ⅱ）若x₁＜1，x₂＞1，求m的取值范圍；
（Ⅲ）試判斷是否存在m，使經過點A和點B的圓與y軸相切于點C（0，2）？若存在，求出m的值；若不存在，試說明理由；
（Ⅳ）若直線l：y=kx+b過點F（0，7），與（Ⅰ）中的拋物線M相交于P，Q兩點，且使

PF

FQ

=

1

2

，求直線l的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題有多種解法．首先由題意可得x₁x₂=m-2＜0，可求出m值，然后根據題意求出解析式即可．
（2）已知題意x₁＜1，x₂＞1推出（x₁-1）（x₂-1）＜0，然后可知x₁+x₂=-（m-1），x₁x₂=m-2，代入等式可解．
（3）存在．根據題意因為過A，B兩點的圓與y軸相切于點C（0，2），所以A，B兩點在y軸的同側，故x₁x₂＞0，
再根據圓的切割線定理得知OC²=OA•OB．
（4）首先分別假設P．Q的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由平行線定理求出x₂與x₁的等量關系．再證明△FP₂P∽△FQ₂Q，求出x₁的值，根據實際情況取值．

解答：解：（1）解法一：由題意得，x₁x₂=m-2＜0．（1分）
解得，m＜2．
∵m為正整數，
∴m=1．
∴y=x²-1．（2分）
解法二：由題意知，當x=0時，y=0²+（m-1）×0+（m-2）＜0．（1分）
（以下同解法一）
解法三：∵△=（m-1）²-4（m-2）=（m-3）²，
∴x=

-(m-1)±(m-3)

2

，
∴x₁=-1，x₂=2-m．
又∵x₁x₂＜0，
∴x₂=2-m＞0．（1分）
∴m＜2．
（以下同解法一．）
解法四：令y=0，即x²+（m-1）x+（m-2）=0，
∴（x+1）（x+m-2）=0
∴x₁=-1，x₂=2-m．
（以下同解法三．）

（2）解法一：∵x₁＜1，x₂＞1，
∴x₁-1＜0，x₂-1＞0．
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0．（3分）
∵x₁+x₂=-（m-1），x₁x₂=m-2，
∴（m-2）+（m-1）+1＜0．（4分）
解得m＜1．
∴m的取值范圍是m＜1．（5分）
解法二：由題意知，當x=1時，
y=1+（m-1）+（m-2）＜0．（4分）
解得：m＜1．
∴m的取值范圍是m＜1．（5分）
解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，x₁=-1，x₂=2-m．
∵x₁＜1，x₂＞1，
∴2-m＞1，（4分）
∴m＜1．
∴m的取值范圍是m＜1．（5分）

（3）存在．
解法一：因為過A，B兩點的圓與y軸相切于點C（0，2），
所以A，B兩點在y軸的同側，
∴x₁x₂＞0．（6分）
由切割線定理知，OC²=OA•OB，（7分）
即2²=|x₁||x₂|．
∴|x₁x₂|=4
∴x₁x₂=4．
∴m-2=4．
∴m=6．（8分）
解法二：連接O'B，O'C．
圓心所在直線x=-

b

2a

=-

m-1

2

=

1-m

2

，（6分）
設直線x=

1-m

2

與x軸交于點D，圓心為O'，
則O'D=OC=2，O'C=OD=

|1-m|

2

．
∵AB=|x₂-x₁|=

(m-3)2

=|m-3|，BD=

AB

2

，
∴BD=

|m-3|

2

．（7分）
在Rt△O′DB中，
O'D²+DB²=O'B²．
即22+(

m-3

2

)2=(

1-m

2

)2．
解得m=6．（8分）

（4）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁=x₁²-1，y₂=x₂²-1．
過P，Q分別向x軸引垂線，垂足分別為P₁（x₁，0），Q（x₂，0）．
則PP₁∥FO∥QQ₁．
所以由平行線分線段成比例定理知，

P1O

OQ1

=

PF

FQ

．
因此，

0-x1

x2-0

=

1

2

，即x₂=-2x₁．（9分）
過P，Q分別向y軸引垂線，垂足分別為P₂（0，y₁），Q₂（0，y₂），
則PP₂∥QQ₂．所以△FP₂P∽△FQ₂Q．
∴

P2F

FQ2

=

FP

FQ

．
∴

7-y1

y2-7

=

1

2

．
∴21-2y₁=y₂．（10分）
∴21-2（x₁²-1）=x₂²-1
∴23-2x₁²=4x₁²-1
∴x₁²=4，
∴x₁=2，或x₁=-2．（11分）
當x₁=2時，點P（2，3）．
∵直線l過P（2，3），F（0，7），
∴

7=k×0+b 3=k×2+b

，
解得

b=7 k=-2

當x₁=-2時，點P（-2，3）．
∵直線l過P（-2，3），F（0，7），
∴

7=k×0+b 3=k×(-2)+b

，
解得

b=7 k=2

故所求直線l的解析式為：y=2x+7，或y=-2x+7．（12分）

點評：[點評]本題對學生有一定的能力要求，涉及了初中數學的大部分重點章節的重點知識，是一道選拔功能卓越的好題．