Question

【題目】如圖，在正方形中，對角線上有一點，連結，作交于點．過點作直線的對稱點，連接

求證：

求證：四邊形為平行四邊形；

若有可能成為菱形嗎?如果可能，求此時長；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用對稱的性質得出，，再根據正方形的性質得出，，從而可證明結論；

（2）根據點與點關于直線對稱，推出，再根據正方形的性質得出，從而推出，再利用（1）中結論，得出，可得出，推出，繼而證明結論；

（3）過點作于點于點，根據已知條件結合示意圖可證明，得到，又因為，繼而得出，當四邊形為菱形時，為等邊三角形，從而得出，設， 則，，再結合AB=4求x的值，進一步計算即可得出答案．

解：證明：點與點關于直線對稱，

，，

四邊形為正方形，

，

；

點與點關于直線對稱，

，

，

，

，

∴∠GEC＝∠BCE＝∠CGE＝45°，

，

，

由得，

，

，

，

四邊形為平行四邊形；

如圖所示，過點作于點于點，連接DE，

，

，

，

，

，

，

，

四邊形為正方形，

關于對稱，

，

，

當四邊形為菱形時，，

為等邊三角形，

，

設，則，

，

，

四邊形為正方形，，

，

，

.