Question

【題目】如圖，中，，以的中點為圓心，以的長為直徑的交于點，交于點，過點作的切線，交于點．

（1）求證：；

（2）填空：

①若，，則的面積為____；

②當的度數為____時，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②30°

【解析】

（1）由等腰三角形的性質得出∠B=∠C，∠B=∠BDO，證出OD∥AC，由已知條件得出∠C+∠CDF=90°，即可得出結論；

（2）解：①由AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=∠AEB=90°，即AD⊥BC由等腰三角形三線合一可得：BC=CD=，可證△ABE是等腰直角三角形，根據勾股定理可得：,代入數據可得：故可得△BEC的面積，證得：△CBE∽△CDF，故，即可得出答案;

②證出△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°，故∠CDF的度數，即可得出答案．

（1）證明：連接OD，∵AB=AC，OB=OD，

∴∠B=∠C，∠B=∠BDO，

∴∠C=∠BDO，

∴OD∥AC，

∵DF是⊙O的切線，

∴∠ODF=90°，

∴∠BDO+∠CDF=90°，

∴∠C+∠CDF=90°，

∴∠CFD=90°，

∴DF⊥AC；

（2）解：①∵連接AC，BE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∴AD⊥BC

∵AB=AD=4，

∴BC=CD=，

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45°

∴∠ABE=90°-∠BAE=45°=∠BAE,

∴BE=AE

根據勾股定理可得,

即

∴

∴

∴

∴

∵DF⊥AC

∴∠DFE=∠DFC=90°

∵∠AEB=90°

∴∠AEB=∠DFE

∴BE∥DF，

∴△CBE∽△CDF

∴

∴

故答案為：

②當四邊形OECD是菱形時，OE∥DC

∴∠OEA=∠ACB

∵AB=AC，OA=OE

∴∠ABC=∠ACB，∠OAE=∠OEA

∴∠OAE=∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等邊三角形

∴∠ACB=60°

∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-60°=30°

∴當∠CDF得度數為30°，四邊形OECD是菱形

故答案為30°