【題目】【感知】如圖①,△ABC是等邊三角形,CM是外角∠ACD的平分線,E是邊BC中點,在CM上截取CF=BE,連接AE、EF、AF.易證:△AEF是等邊三角形(不需要證明).
【探究】如圖②,△ABC是等邊三角形,CM是外角∠ACD的平分線,E是邊BC上一點(不與點B、C重合),在CM上截取CF=BE,連接AE、EF、AF.求證:△AEF是等邊三角形.
【應用】將圖②中的“E是邊BC上一點”改為“E是邊BC延長線上一點”,其他條件不變.當四邊形ACEF是軸對稱圖形,且AB=2時,請借助備用圖,直接寫出四邊形ACEF的周長.
【答案】【探究】見解析;【應用】
【解析】試題分析:【探究】根據等邊三角形的性質和角平分線的性質證明△ABE≌△ACF,得到AE=AF,再證明∠EAF=60°,即可得到結論;
【應用】先證明△AEF為等邊三角形,得到不可能以AE所在的直線為對稱軸,只能以CF為對稱軸,從而得到∠BAE=90°,以及AE的值,即可得到結論
試題解析:解:【探究】∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠B=∠ACB=60°,∴∠ACD=120°.∵CM是外角∠ACD的平分線,∴,∴∠B=∠ACF=60°.∵CF=BE,∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∠BAE=∠CAF.∵∠BAC=60°,∴∠BAE+∠EAC=∠CAF +∠EAC,∴∠EAF=60°,∴△AEF是等邊三角形.
【應用】由題意得:△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∠BAE=∠CAF,∴∠FAE=∠BAC=60°,∴△AEF為等邊三角形,∴AE=AF=EF,∴不可能以AE所在的直線為對稱軸,即以CF為對稱軸.∵AB=2,∴AC=CE=2,∴AC=BC=CE,∴∠BAE=90°,∴AE=,∴四邊形ACEF的周長為:
=
.
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【題目】在數學拓展課《折疊矩形紙片》上,小林折疊矩形紙片ABCD進行如下操作:①把△ABF翻折,點B落在CD邊上的點E處,折痕AF交BC邊于點F;②把△ADH翻折,點D落在AE邊長的點G處,折痕AH交CD邊于點H.若AD=6,AB=10,則的值是( )
A. B.
C.
D.
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【題目】在平面直角坐標系中,A(4,0),直線l:y=6與y軸交于點B,點P是直線l上點B右側的動點,以AP為邊在AP右側作等腰Rt△APQ,∠APQ=90°,當點P的橫坐標滿足0≤x≤8,則點Q的運動路徑長為_____.
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【題目】點O為直線AB上一點,過點O作射線OC,使∠BOC=65°,將一直角三角板的直角頂點放在點O處.
(1)如圖①,將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時,則∠MOC= ;
(2)如圖②,將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度,此時OC是∠MOB的角平分線,求旋轉角∠BON和∠CON的度數;
(3)將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖③時,∠NOC=∠AOM,求∠NOB的度數.
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【題目】為了傳承中華優秀傳統文化,某校組織八年級學生參加了“漢字聽寫”大賽,賽后發現所有參賽學生的成績均不低于50分.為了更好地了解大賽的成績分布情況,隨機抽取了其中若干名學生的成績(成績x取整數,總分100分)作為樣本進行整理,繪制如下不完整的條形統計圖.
漢字聽寫大賽成績分數段統計表
分數段 | 頻數 |
2 | |
6 | |
9 | |
18 | |
15 |
漢字聽寫大賽成績分數段條形統計圖
(1)補全條形統計圖.
(2)這次抽取的學生成績的中位數在________的分數段中;這次抽取的學生成績在的分數段的人數占抽取人數的百分比是_______.
(3)若該校八年級一共有學生350名,成績在90分以上(含90分)為“優”,則八年級參加這次比賽的學生中成績“優”等的約有多少人?
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【題目】某商場購進一批西服,進價為每套250元,原定每套以290元的價格銷售,這樣每天可銷售200套.如果每套比原銷售價降低10元銷售,則每天可多銷售100套.該商場為了確定銷售價格,作了如下測算,請你參加測算,并由此歸納得出結論(每套西服的利潤=每套西服的銷售價﹣每套西服的進價).
(1)按原銷售價銷售,每天可獲利潤 元.
(2)若每套降低10元銷售,每天可獲利潤 元.
(3)如果每套銷售價降低10元,每天就多銷售100套,每套銷售價降低20元,每天就多銷售200套.
按這種方式:
①若每套降低10x元,則每套的銷售價格為 元;(用代數式表示)
②若每套降低10x元,則每天可銷售 套西服.(用代數式表示)
③若每套降低10x元,則每天共可以獲利潤 元.(用代數式表示)
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【題目】將有規律的整數1,﹣2,3,﹣4,5,﹣6,…按照如圖所示的方式排成數陣.
(1)用字母表示如圖橫行任意三個相鄰的數的關系 、 、 .
(2)如圖,方框中九個數之和與正中間數17有什么關系?請計算說明.
(3)用這樣的方框在數陣中移動(一直保持框出數陣中的9個數),那么方框中九個數之和與正中間數關系,還如(2)中一樣成立嗎?請用字母解釋其中所包含的規律.
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【題目】某單位750名職工積極參加向貧困地區學校捐書活動,為了解職工的捐數量,采用隨機抽樣的方法抽取30名職工作為樣本,對他們的捐書量進行統計,統計結果共有4本、5本、6本、7本、8本五類,分別用A、B、C、D、E表示,根據統計數據繪制成了如圖所示的不完整的條形統計圖,由圖中給出的信息解答下列問題:
(1)補全條形統計圖;
(2)求這30名職工捐書本數的平均數、眾數和中位數;
(3)估計該單位750名職工共捐書多少本?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2﹣
x﹣
與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上.
(1)求直線AE的解析式;
(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當△PCE的面積最大時,求P點坐標?
(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=x2﹣
x﹣
沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經過點D,y′的頂點為點F.在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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