Question

如圖，矩形ABCD中，AB=20cm、BC=30cm，在距邊12cm、距C點20cm的點O處有一釘子．動P、Q同時從點A出發，點P沿A→B→C方向以5cm/s的速度運動，到點C停止運動；點Q沿A→D方向以3cm/s的速度運動，到點D停止運動．P、Q兩點用一條可伸縮的橡皮筋連接，設兩動點運動t（s）后橡皮筋掃過的面積為y（cm²）．
（1）當t=4時，求y的值；
（2）問：t為何值時，橡皮筋剛好接觸釘子（即P、O、Q三點在同一直線上）；
（3）當4＜t≤10時，求y與t之間的函數關系式．

Answer 1

解：（1）當t=4時，AP=5t=4×5=20（cm）．
AQ=3t=3×4=12（cm）．
∴y=AP•AQ=×20×12=120（cm²）．

（2）延長EO交AD于F．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
又∵AB∥EF，∠B=90°．
∴四邊形ABEF是矩形，
∴EF=AB=20cm，
∵OE=12cm，
∴OF=20-12=8（cm）．
在Rt△EOC中，EC===16（cm）．
∴BE=30-16=14（cm）．
∴當PQ剛好接觸點O時，PE=34-5t，FQ=3t-14，
由△PEO∽△QFO，得=
即，=，
t=（s）．

（3）分兩種情況：
①當4＜t≤，
y=S_△AOB+S_△BOP+S_△AOQ=×20×（3t+5t-20）=80t-200；
②當＜t≤10時，
y=S_梯形AGOQ+S_梯形OGBP
=AG（OG+AQ）+BG•（GO+BP）
=×8×（14+3t）+×12×（14+5t-20）
=42t+20．
分析：（1）當t=4時，根據運動速度可知道此時掃過的面積是三角形，從而求出解．
（2）橡皮筋剛好接觸釘子即P、O、Q三點在同一直線上，根據在距邊12cm、距C點20cm的點O處有一釘子，用勾股定理可求出解．
（3）分兩種情況，以P，O，Q在一條直線上為分界線，根據得到圖形求出面積．
點評：本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理，梯形面積的計算，以及相似三角形的判定和性質．