Question

【題目】我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（1）如果一個正整數a是另外一個正整數b的平方，我們稱正整數a是完全平方數．求證：對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；
（2）如果一個兩位正整數t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為18，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”中F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），

∵|n﹣n|=0，

∴n×n是m的最佳分解，

∴對任意一個完全平方數m，總有F（m）= =1

（2）

解：設交換t的個位上的數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，

∵t為“吉祥數”，

∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，

∴y=x+2，

∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數，

∴“吉祥數”有：13，24，35，46，57，68，79，

∴F（13）= ，F（24）= = ，F（35）= ，F（46）= ，F（57）= ，F（68）= ，F（79）= ，

∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ，aaa

∴所有“吉祥數”中，F（t）的最大值是

【解析】（1）根據題意可設m=n2 ， 由最佳分解定義可得F（m）= =1；（2）根據“吉祥數”定義知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，結合x的范圍可得2位數的“吉祥數”，求出每個“吉祥數”的F（t），比較后可得最大值．本題主要考查實數的運算，理解最佳分解、“吉祥數”的定義，并將其轉化為實數的運算是解題的關鍵．