Question

【題目】如圖1，△ABC中，D、E、F三點分別在AB，AC，BC三邊上，過點D的直線與線段EF的交點為點H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．

（1）求證：DE∥BC；

（2）在以上條件下，若△ABC及D，E兩點的位置不變，點F在邊BC上運動使得∠DEF的大小發生變化，保證點H存在且不與點F重合，探究：要使∠1=∠BFH成立，請說明點F應該滿足的位置條件，在圖2中畫出符合條件的圖形并說明理由．

（3）在（2）的條件下，若∠C=α，直接寫出∠BFH的大小 ．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) 90°+.

【解析】

（1）欲證明DE∥BC，只需推知∠DEC+∠C=180°即可，因此先根據外角性質，將∠1轉化為∠3+∠4，再根據∠1與∠2互補，得到∠3+∠4+∠2=180°，最后將∠3=∠C代入即可得出結論；

（2）點F運動到∠DEC的角平分線與邊BC的交點位置時，∠1=∠BFH成立．

（3）根據平行線的性質和角平分線的定義，得出∠2的度數，再由三角形外角的性質即可得出結論．

（1）如圖1．

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠4．

又∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠4+∠2=180°．

∵∠3=∠C，∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，∴DE∥BC；

（2）如圖2．

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠DEF，①

∵∠BFE是△CEF的外角，∴∠BFH=∠2+∠C．

當∠1=∠BFH時，∠1=∠2+∠C，②

由①②得：∠3+∠DEF=∠2+∠C．

∵∠3=∠C，∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC，∴點F運動到∠DEC的角平分線與邊BC的交點位置時，∠1=∠BFH成立．

（3）∵EF平分∠DEC，∴∠DEF=∠2．

∵DE∥BC，∴∠DEC+∠C=180°，∴2∠2+α=180°，∴∠2==．

∵∠BFH=∠2+∠C==．