Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，點P是射線AC上一點（不與點A、C重合），過P作PM⊥AB，垂足為點M，以M為圓心，MA長為半徑的⊙M與邊AB相交的另一個交點為點N，點Q是邊BC上一點，且CQ＝2CP，聯結NQ．

（1）如果⊙M與直線BC相切，求⊙M的半徑長；

（2）如果點P在線段AC上，設線段AP＝x，線段NQ＝y，求y關于x的函數解析式及定義域；

（3）如果以NQ為直徑的⊙O與⊙M的公共弦所在直線恰好經過點P，求線段AP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0＜x＜4）；（3）或．

【解析】

（1）先根據勾股定理求得，設⊙M的半徑長為R，則，過M作MH⊥BC，垂足為點H，根據相似三角形的對應邊成比例得到，最后根據⊙M與直線BC相切，即MA＝MH，即可求解；

（2）設AP＝x，得到CP＝4﹣x，CQ＝8﹣2x，BQ＝2x，過Q作QG⊥AB，垂足為點G，根據三角函數可得，根據PM⊥AB，，得到，最后在Rt△QNG中，根據勾股定理即可求解；

（3）當點P在線段AC上，設以NQ為直徑的⊙O與⊙M的另一個交點為點E，連接EN，MO，則MO⊥EN，根據以NQ為直徑的⊙O與⊙M的公共弦所在直線恰好經過點P，PM⊥AB，MA＝MN，得到PN＝PA，∠PAN＝∠ANE，再根據∠ACB＝90°，得到∠PAN+∠B＝90°，∠NMO＝∠B，連接AQ，根據 M、O分別是線段AN、NQ的中點，得到MO∥AQ，∠NMO＝∠BAQ，∠BAQ＝∠B， QA＝QB，在Rt△QAC中，根據勾股定理得，QA2＝AC2+QC2即可求解；當點P在線段AC的延長上，即．

（1）解：如圖1，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，

∴

設⊙M的半徑長為R，則

過M作MH⊥BC，垂足為點H，

∴MH∥AC，

∵MH∥AC，

∴△BHM∽△BCA，

∴

∵⊙M與直線BC相切，

∴MA＝MH，

∴

∴，

即的半徑長為；

（2）如圖2，

∵AP＝x，

∴CP＝4﹣x，

∵CQ＝2CP，

∴CQ＝8﹣2x，

∴BQ＝BC﹣CQ＝8﹣（8﹣2x）＝2x，

過Q作QG⊥AB，垂足為點G，

∵，

∴，

∴

同理：

∵PM⊥AB，

∴∠AMP＝90°，

∴

∵AP＝x，

∴

∴

在Rt△QNG中，根據勾股定理得，QN2＝NG2+QG2，

∴

∴（0＜x＜4）；

（3）當點P在線段AC上，如圖3，

設以NQ為直徑的⊙O與⊙M的另一個交點為點E，連接EN，MO，

則MO⊥EN，

∴∠NMO+∠ANE＝90°，

∵以NQ為直徑的⊙O與⊙M的公共弦所在直線恰好經過點P，

即P、E、N在同一直線上，

又∵PM⊥AB，MA＝MN，

∴PN＝PA，

∴∠PAN＝∠ANE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠PAN+∠B＝90°，

∴∠NMO＝∠B，

連接AQ，

∵M、O分別是線段AN、NQ的中點，

∴MO∥AQ，

∴∠NMO＝∠BAQ，

∴∠BAQ＝∠B，

∴QA＝QB，

在Rt△QAC中，根據勾股定理得，QA2＝AC2+QC2，

∴（2x）2＝42+（8﹣2x）2，

∴

同理：當點P在線段AC的延長上，

即線段AP的長為或．