Question

△ABC中，BC，AC，AB，若∠C=90°，如圖（1），根據勾股定理，則，若△ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請你類比勾股定理，試猜想與的關系，并證明你的結論.

Answer 1

解：若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²>c²

若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²<c²

當△ABC是銳角三角形時，

證明：過點A作AD⊥CB，垂足為D。設CD為x，則有DB=a－x

根據勾股定理得   b²－x²＝c²―(a―x) ²

即   b²－x²＝c²―a²＋2ax―x ²

∴a²＋b²＝c²＋2ax

∵a>0，x>0

∴2ax>0

∴a²+b²>c² 

當△ABC是鈍角三角形時，

證明：過點B作BDAC，交AC的延長線于點D.

設CD為x，則有DB²=a²－x²

根據勾股定理得   (b＋x)²＋a²―x ²＝c²

即   b²＋2bx＋x²＋a²―x ²＝c²

∴a²＋b²＋2bx＝c²

∵b>0，x>0

∴2bx>0

∴a²+b²<c².