Question

如圖，E、D分別是等邊三角形ABC的AB、AC邊上的點，且D為AC的中點，

AE

EB

=

1

3

，則和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（　　）

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

分析：由于△ABC是等邊三角形，那么∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，根據

AE

EB

=

1

3

易求

AE

AB

=

1

4

，而D是AC中點，易得

AD

AB

=

1

2

，從而有

AD

AB

=

AE

AD

，結合∠A=∠A，可證△ADB∽△AED；同理易證△CDB∽△AED；再利用D是AC中點，△ABC是等邊三角形，根據等腰三角形三線合一定理可求∠ADB=∠CDB=90°，∠ABD=∠CBD=30°，從而易求∠AED=90°，∠ADE=30°，∠BED=90°，那么可證△AED∽△DEB．

解答：解：如右圖所示，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵

AE

BE

=

1

3

，
∴

AE

AB

=

1

4

，
又∵D是AC中點，
∴AD=

1

2

AC，
∴

AD

AB

=

1

2

，
∴

AE

AD

=

1

2

，
∵

AD

AB

=

AE

AD

，∠A=∠A，
∴△ADB∽△AED；
∵

CD

BC

=

1

2

，∠C=∠A，
∴△CDB∽△AED；
又∵D是AC中點，△ABC是等邊三角形，
∴∠ADB=∠CDB=90°，∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴∠BED=90°，
∴△AED∽△DEB．
故選B．

點評：本題考查了相似三角形的判定、等邊三角形的性質、等腰三角形三線合一定理．注意相似三角形判定定理的靈活運用，解題的關鍵是計算AE：AD的值以及求∠ADB．