Question

已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD為AB邊上的中線，AC=6cm，BC=8cm；點O是線段CD邊上的動點（不與點C、D重合）；以點O為圓心、OC為半徑的⊙O交AC于點E，EF⊥AB于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線．（如圖1）
（2）請分析⊙O與直線AB可能出現的不同位置關系，分別指出線段EF的取值范圍．（圖2供思考用）

Answer 1

解：（1）證明：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊中線，
∴CD=AD，
∴∠A=∠OCE．
又∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠A=∠OEC，
又∵EF⊥AB于F，
∴∠A+∠FEA=90°，
∴∠OEC+∠FEA=90°，
∴∠OEF=180-（∠OEC+∠FEA）=90°，
∴OE⊥EF，
∴EF是圓O的切線；

（2）∵△AEF∽△ABC，
∴=，
即 =，
設EF=x，則AE=x．
∵OE⊥FE，FE⊥AB，
∴OE‖AD，
∴==，
即 =
∴OE=5-x．
過點O作OG⊥AB，則四邊形OEFG為矩形．
①當EF=OE時，圓O與AB相切，
x=5-x，
解得：x=，
②當EF＜OE時，AB與圓O相交，
x＜5-x，
解得：x＜，
則0＜x＜；
③當EF＞OE時，AB與圓O相離，
x＞5-x，
解得：x＞，
故5≥x＞．
分析：（1）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得CD=AD，由等邊對等角，得到∠A=∠OCE，還可證明∠A=∠OEC，由EF⊥AB，可得∠OEF=90°，從而得出EF是⊙O的切線．
（2）由△AEF∽△ABC，則 =，設EF=x，則AE=x，由OE⊥FE，FE⊥AB，可得出OE‖AD，即 ==，則求得OE，我們作圓心O到AB的垂線段，不難發現O到AB的距離=EF（矩形的對邊相等），所以現在我們只需要判斷EF和半徑的大小關系就行了．①當EF=OE時，圓O與AB相切，②當EF＜OE時，AB與圓O相交，③當EF＞OE時，AB與圓O相離．
點評：此題考查了切線的判定和性質、直角三角形斜邊的中線、勾股定理、直線和圓的位置關系，注意分類思想的使用．