Question

已知：關于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數，二次函數y=ax²?bx+kc（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1．
【小題1】（1）若方程①的根為正整數，求整數k的值；
【小題2】（2）求代數式的值；
【小題3】（3）求證：關于x的一元二次方程ax²?bx+c="0" ②必有兩個不相等的實數根．

Answer 1

【小題1】解：（1）解：由kx=x+2，得（k-1）x=2．
依題意k-1≠0．∴．     ……………………………………1分
∵方程的根為正整數，k為整數，∴k-1=1或k-1=2．
∴k₁= 2，k₂=3．        …………………………………………………2分
【小題2】（2）解：依題意，二次函數y=ax²-bx+kc的圖象經過點（1，0），
∴ 0 =a-b+kc， kc = b-a．
∴ = …3分
【小題3】（3）證明：方程②的判別式為Δ=（-b）²-4ac= b²-4ac．  由a≠0，c≠0，得ac≠0．
證法一：
（i）若ac<0，則-4ac>0．故Δ=b²-4ac>0．此時方程②有兩個不相等的實數根．……4分
（ii）若ac>0，由（2）知a-b+kc =0，故b=a+kc．
Δ=b²-4ac= （a+kc）²-4ac=a²+2kac+（kc）²-4ac = a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac
=（a-kc）²+4ac（k-1）．    …………………………………………………5分
∵方程kx=x+2的根為正實數，∴方程（k-1）x=2的根為正實數．
由x>0， 2>0，得k-1>0．              …………………………………6分
∴ 4ac（k-1）>0．  ∵（a-kc）²³0，
∴Δ=（a-kc）²+4ac（k-1）>0．此時方程②有兩個不相等的實數根． …………7分
證法二：
（i）若ac<0，則-4ac>0．故Δ=b²-4ac>0．此時方程②有兩個不相等的實數根．……4分
（ii）若ac>0，∵拋物線y=ax²-bx+kc與x軸有交點，
∴Δ₁=（-b）²-4akc =b²-4akc³0． 
（b²-4ac）-（ b²-4akc）=4ac（k-1）．    由證法一知k-1>0，
∴b²-4ac> b²-4akc³0．
∴Δ= b²-4ac>0．此時方程②有兩個不相等的實數根．  …………………7分
綜上，方程②有兩個不相等的實數根．
證法三：由已知，，∴
可以證明和不能同時為0（否則），而，因此．解析:
略