Question

如圖，拋物線y=ax²-4ax+b的頂點的縱坐標為3，且經過（0，2），交x軸于A、B（A在B左邊）
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設D為拋物線的頂點，點C關于x軸的對稱點為E，x軸上一點M，使S_△MCE=S_△MCD，求M的坐標；
（3）將直線CD向下平移，交x、y軸分別于S、T，交拋物線于P，若

PS

PT

=2，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先求出頂點坐標，利用待定的系數法求得物線的解析式；
（2）設出點M的坐標，由三角形的面積計算方法聯立方程即可解答；
（3）求出直線CD，進一步得到直線PS的解析式，由此聯立一元二次方程求得結果．

解答：解：（1）拋物線y=ax²-4ax+b的對稱軸是x=-

-4a

2a

=2，頂點坐標為（2，3），且經過C（0，2），
代入函數解析式得

4a-8a+b=3 b=2

，
解得

a= 1 4 b=2

，
所以函數解析式為y=-

1

4

x2+x+2；

（2）如圖，

作DF垂直于x軸，垂足為F，
由題意知C（0，2），D（2，3），E（0，-2），F（0，2），設M點坐標為（x，0），
由S_△MCE=S_△MCD得

1

2

×4x=

1

2

（2+3）×2-

1

2

×2x-

1

2

（2-x）×3，
解得x=

4

3

，所以點M坐標為（

4

3

，0），點M關于y軸的對稱點（-

4

3

，0）也符合要求，
所以M的坐標為M(±

4

3

，0)；

（3）如上圖，設P點坐標為（x，-

1

4

x2+x+2），過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，
可得到△SOT∽△SQP，

PQ

TO

=

PS

ST

，又因

PS

PT

=2，所以

PQ

TO

=2，
因此T點坐標為（0，-

1

8

x2+

1

2

x+1），
經過C、D兩點直線CD的解析式為y=

1

2

x+2，
因此直線PS的解析式為y=

1

2

x+（-

1

8

x²+

1

2

x+1）=-

1

8

x²+x+1，與拋物線聯立方程得，
-

1

4

x²+x+2=-

1

8

x²+x+1，解得x=±2

2

，
代入拋物線解析式可得y=2

2

，
因此P點坐標為P(±2

2

，2

2

)．

點評：此題考查待定系數法求函數解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定與性質，三角形的面積等內容．