Question

【題目】某商店銷售一種商品，經市場調查發現：該商品的月銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數，其售價x、月銷售量y、月銷售利潤w（元）的部分對應值如下表：

售價x（元/件）	40	45
月銷售量y（件）	300	250
月銷售利潤w（元）	3000	3750

注：月銷售利潤＝月銷售量×（售價－進價）

（1）①求y關于x的函數表達式；

②當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（2）由于某種原因，該商品進價提高了m元/件（m＞0），物價部門規定該商品售價不得超過40元/件，該商店在今后的銷售中，月銷售量與售價仍然滿足（1）中的函數關系．若月銷售最大利潤是2400元，則m的值為 ．

Answer 1

【答案】（1）①y＝－10x＋700；②當該商品的售價是50元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是4000元．（2）2.

【解析】

（1）①將點（40，300）、（45，250）代入一次函數表達式：y=kx+b即可求解；

②設該商品的售價是x元，則月銷售利潤w= y（x－30），求解即可；

（2）根據進價變動后每件的利潤變為[x-(m+30)]元，用其乘以月銷售量，得到關于x的二次函數，求得對稱軸，判斷對稱軸大于50，由開口向下的二次函數的性質可知，當x=40時w取得最大值2400，解關于m的方程即可．

（1）①解：設y＝kx＋b（k，b為常數，k≠0）

根據題意得：,解得：

∴y＝－10x＋700

②解：當該商品的進價是40－3000÷300＝30元

設當該商品的售價是x元/件時，月銷售利潤為w元

根據題意得：w＝y（x－30）＝（x－30）（－10x＋700）

＝－10x2＋1000 x－21000＝－10（x－50）2＋4000

∴當x＝50時w有最大值，最大值為4000

答：當該商品的售價是50元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是4000元．

（2）由題意得：
w=[x-(m+30)]（-10x+700）
=-10x2+（1000+10m）x-21000-700m
對稱軸為x=50+
∵m＞0
∴50+>50
∵商家規定該運動服售價不得超過40元/件
∴由二次函數的性質，可知當x=40時，月銷售量最大利潤是2400元
∴-10×402+（1000+10m）×40-21000-700m=2400
解得：m=2
∴m的值為2．