Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF． 解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關系為 _________ ，數量關系為 _________ ．
②當點D在線段BC的延長線時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB⊥AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動． 試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C，F重合除外）畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若AC=4，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

解：（1）①CF與BD位置關系是垂直，數量關系是相等
②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC
又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD   ∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）當∠BCA=45°時，CF⊥BD（如圖）
理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，
∴AC=AG可證：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．
（3）當具備∠BCA=45°時 過點A作AQ⊥BC交BC于點Q，（如圖）
∵DE與CF交于點P時，
∴此時點D位于線段CQ上
∵∠BCA=45°，可求出AQ=QC=4．
設CD=x，
∴DQ=4+x
容易說明△AQD∽△DCP，
∴，
∴
∴CP=+x，
∵0＜x≤3，
∴當x=3時，CP有最大值5.25．