Question

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交 y軸與A點，交x軸與B、C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，－5）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線與點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關系，并給出證明．
（3）在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（１）∵拋物線的頂點為（3，4），∴可設此拋物線的解析式為：。
∵此拋物線過點A（0，－5），∴，解得。
∴此拋物線的解析式為：，即。
（２）此時拋物線的對稱軸與⊙C相離。證明如下：
令，即，得ｘ=1或ｘ=5，
∴B（1，0）,C（5，0）。
令ｘ=1，得，∴A（0，－5）。
如圖，過點C作CE⊥BD于點E，作拋物線的對稱軸交ｘ軸于點F，

∵AB⊥BD，∴∠ABO=90⁰－∠ABO=∠CBE。
∵∠AOB=∠BEC=90⁰，∴△AOB∽△BEC。
∴。
又∵OB=1，OA=5，∴根據勾股定理，得。
又∵BC=4，∴，即。
∵CF=2，∴，即。
∴拋物線的對稱軸與⊙C相離。
（3）存在。
假設存在滿足條件的點，
∵點在拋物線上，∴。
又，
，
。
①當∠A=90⁰時，在中，由勾股定理，得 ，
∴，整理，得。
∴，解得或，∴或。
∴點P為（7，－12）或（0，－5）（舍去）。
②當∠C=90⁰時，在中，由勾股定理，得，
∴，整理，得。
∴，解得或，∴或。
∴點P為（2，3）或（5，0）（舍去）。
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（7，－12）或（2，3）。

（1）由于已知拋物線的頂點為（3，4），故應用待定系數法，設頂點式求解。
（2）過點C作CE⊥BD于點E，應用△AOB∽△BEC求得CE的長，與點C到拋物線的對稱軸的距離比較即可。
（3）用點P的橫坐標表示三邊的長，分∠A=90⁰和∠C=90⁰兩種情況討論即可。