Question

關于x的一元二次方程x²-2x-m=0
①已知1+是方程的一個根，求它的另一根及m的值
②判斷命題：“若m≤2，則方程x²-2x-m=0總有兩個不相等的實數根”的真假，如果是真命題請給出證明；如果是假命題請舉出一個反例說明

Answer 1

解：①設方程的另一個根為x₁，則：
x₁+1+=2，
∴x₁=1-．
x₁•（1+）=-m，
（1-）（1+）=-2=-m，
∴m=2．
故另一個根是：1-，m=2．

②△=4+4m＞0，
m＞-1．
∴當m＞-1時，方程總有兩個不等實數根．
故命題“若m≤2，則方程x²-2x-m=0總有兩個不相等的實數根”是假命題．
如當m=-2時，方程為x²-2x+2=0，此時△=4-8=-4＜0，方程沒有實數根．
分析：①由兩根之和可以求出方程的另一個根，由兩根之積可以求出m的值．②用一元二次方程根的判別式證明命題的真假，然后用具體的數字說明．
點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系和根的判別式，①由兩根之和可以求出方程的另一個根，兩根之積可以求出m的值．②用判別式可以求出方程有兩個不相等的實數根時m的取值范圍，可以證明命題是假命題，然后用具體的數字說明．