Question

如圖，直角坐標系中，已知兩點O（0，0），A（2，0），點B在第一象限且△OAB為正三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C，過點C的圓的切線交x軸于點D．
（1）求B，C兩點的坐標；
（2）求直線CD的函數解析式；
（3）設E，F分別是線段AB，AD上的兩個動點，且EF平分四邊形ABCD的周長．試探究：△AEF的最大面積．

Answer 1

解：（1）∵A（2，0），∴OA=2．
作BG⊥OA于G，∵△OAB為正三角形，∴OG=1，BG=．∴B（1，）．
連AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°，∴OC=OAtan30°=．
∴C（0，）．

（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圓的直徑，
又∵CD是圓的切線，∴CD⊥AC．∴∠OCD=30°，OD=OCtan30°=．
∴．
設直線CD的函數解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得．
∴直線CD的函數解析式為．

（3）∵AB=OA=2，，CD=2OD=，BC=OC=，
∴四邊形ABCD的周長．
設AE=t，△AEF的面積為S，
則，．
∵．
∴當時，．
∵點E，F分別在線段AB，AD上，
∴，解得．
∵滿足，
∴△AEF的最大面積為．
分析：（1）作BG⊥OA于G，連接AC．利用等邊三角形的性質可知：OG=1，BG=，所以B（1，）．根據直角三角形中的三角函數值可計算得OC=OAtan30°=．所以C（0，）．
（2）根據切線的性質求得OD=OCtan30°=．即，結合點C（0，），利用待定系數法求得直線CD的函數解析式為．
（3）先求出四邊形ABCD的周長．設AE=t，△AEF的面積為S，根據題意用含t的代數式表示S，即可得到關于S，t的二次函數，S=t（3+-t），結合自變量t的取值范圍，可求得△AEF的最大面積為．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．