Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3cm，點P由B點出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為2cm/s；點Q由A點出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為cm/s；若設運動的時間為t(s)(0＜t＜3)，解答下列問題：

(1)如圖①，連接PC，當t為何值時△APC∽△ACB，并說明理由；

(2)如圖②，當點P，Q運動時，是否存在某一時刻t，使得點P在線段QC的垂直平分線上，請說明理由；

(3)如圖③，當點P，Q運動時，線段BC上是否存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)t=，理由見解析；(2)存在，t=1，理由見解析；(3)不存在，理由見解析.

【解析】

（1）結合直角三角形性質，由△APC∽△ACB，得；（2）過點P作PM⊥AC，根據線段垂直平分線性質，求QM,AM的表達式，證△APM∽△ABC，得 ，；（3）假設線段BC上是存在一點G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，則PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得，得BP=2t=3，故PQ≠BP.

(1)在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，

∴AB=6，

由運動知，BP=2t，AQ= ，

∴AP=6﹣2t，

∵△APC∽△ACB，

∴t= ；

(2)存在，

理由：如圖②，由運動知，BP=2t，AQ=，

∴AP=6﹣2t，CQ= ，

∵點P是CQ的垂直平分線上，

過點P作PM⊥AC，

∴QM=CM=

∴AM=AQ+QM= =(3+t)

∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，

∴△APM∽△ABC

∴

∴解得t=1；

(3)不存在

理由：由運動知，BP=2t，，

∴AP=6﹣2t，

假設線段BC上是存在一點G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，

∴PQ∥BG，PQ=BG，

∴△APQ∽△ABC，，

∴，

∴BP=2t=3，

∴PQ≠BP，

∴平行四邊形PQGB不可能是菱形．即：線段BC上不存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形．