Question

已知：拋物線y=-x²-2（a-1）x-（a²-2a）與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂。
（1）求A、B兩點的坐標（用a表示）；
（2）設拋物線的頂點為C，求△ABC的面積；
（3）若a是整數，P為線段AB上的一個動點（P點與A、B兩點不重合），在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點為Q，求拋物線的解析式及線段PQ的長的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0）， ∴x1、x2是關于x的方程-的解， 方程可簡化為x2+2（a-1）x+（a2-2a）=0， 解方程，得x=-a或x=-a+2， ∵x1＜x2，-a＜-a+2， ∴x1=-a，x2=-a+2， ∴A、B兩點的坐標分別為A（-a，0），B（-a+2，0）； （2）∵AB=2，頂點C的縱坐標為， ∴△ABC的面積等于； （3）x1＜1＜x2， ∴-a＜1＜-a+2， ∴-1＜a＜1， ∵a是整數， ∴a=0，所求拋物線的解析式為y=-， 此時頂點C的坐標為，如圖，作CD⊥AB于D，連結CQ， 則AD=1， ∴∠BAC=60°， 由拋物線的對稱性可知△ABC是等邊三角形， 由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點為Q可得，點 M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN為平行四邊形，C、Q、 P三點共線，且， ∵點P在線段AB上運動的過程中，P與A、B兩點不重合， ∴。