Question

閱讀材料：如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根分別是x₁、x₂，那么x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．借助該材料完成下列各題：
（1）若x₁、x₂是方程x2-4x+

5

=0的兩個實數根，x₁+x₂=

4

；x₁•x₂=

5

．
（2）若x₁、x₂是方程2x²+6x-3=0的兩個實數根，

1

x1

+

1

x2

=

-2

；

x

2 1

+

x

2 2

=

12

．
（3）若x₁、x₂是關于x的方程x²-（m-3）x+m+8=0的兩個實數根，且

x

2 1

+

x

2 2

=13，求m的值．

Answer 1

分析：（1）、（2）根據根與系數的關系：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

，來解題．
（3）首先根據根的判別式求得m的取值范圍，然后由根與系數的關系來求m的值．

解答：解：（1）∵x₁、x₂是方程x2-4x+

5

=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=-

-4

1

=4，x₁•x₂=

5

1

=

5

；
故答案是：4，

5

；

（2）∵x₁、x₂是方程2x²+6x-3=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=

6

2

=3，x₁•x₂=

-3

2

=-

3

2

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

3

- 3 2

=-2，

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=3²-2×（-

3

2

）=12．
故答案是：-2，12；

（3）∵關于x的方程x²-（m-3）x+m+8=0有兩個實數根，
∴△=（m-3）²-4（m+8）≥0，即m≥5+4

3

，或m≤5-4

3

∵x₁、x₂是關于x的方程x²-（m-3）x+m+8=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=m+8，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=13，即（m-3）²-2（m+8）=13，
解得，m=-2或m=10．
即m的值是-2或10．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．