Question

如圖，在△ABC中，∠ACB＞90°，D是AC的中點，E是線段BC延長線上的動點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F
（1）求證：DE=DF； 
（2）若AC丄EF試判斷四邊形AFCE的形狀，并證明你的結論；
（3）當∠B=22.5，CA=CB時，請探索：點E在運動過程中能否使四邊形成為AFCE成為正方形？若不能，請說明理由；若能，求出BC與CE的數量關系．

Answer 1

分析：（1）根據AF∥BE，利用兩直線平行，內錯角相等可得∠FAC=∠ACE，然后證明△AFD與△ECD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=CE，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形AFCE是平行四邊形，然后根據平行四邊形對角線互相平分即可得證；
（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判定；
（3）先根據等邊對等角的性質以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠ACE的度數是45°，四邊形成為AFCE成為正方形，則AE⊥BE，根據等腰直角三角形的性質，AC=

2

AE，即BC=

2

AE．

解答：（1）證明：∵AF∥BE，
∴∠FAC=∠ACE，
∵D是AC的中點，
∴AD=CD，
在△AFD與△ECD中，

∠FAC=∠ACE AD=CD ∠ADF=∠CDE(對頂角相等)

，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AF=CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∴DE=DF；

（2）解：是菱形．
理由如下：∵AC丄EF，四邊形AFCE是平行四邊形，
∴四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）；

（3）能．
理由如下：∵∠B=22.5°，CA=CB，
∴∠BAC=∠B=22.5°，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=22.5°×2=45°，
∵四邊形AFCE為正方形，
∴AE⊥CE，
∴Rt△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=

2

CE，
故BC=

2

CE，
故當BC=

2

CE時，點E在運動過程中能否使四邊形成為AFCE成為正方形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，是綜合題，但難度不大，只要仔細分析圖形，并熟練掌握各定理與性質是解題的關鍵．