Question

【題目】如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC．

（1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；
（2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△CDF是等腰直角三角形，理由如下：

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，

∴∠FAD=∠DBC，

在△FAD與△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴FD=DC，

∴△CDF是等腰三角形，

∵△FAD≌△DBC，

∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°，

∴∠BDC+∠FDA=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）解：作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結DF，CF，如圖，

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，

∴∠FAD=∠DBC，

在△FAD與△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴FD=DC，

∴△CDF是等腰三角形，

∵△FAD≌△DBC，

∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°，

∴∠BDC+∠FDA=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴∠FCD=45°，

∵AF∥CE，且AF=CE，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∴AE∥CF，

∴∠APD=∠FCD=45°．

【解析】（1）利用SAS證出△FAD≌△DBC，再利用全等三角形的性質得出FD=DC，∠FDA=∠DCB，故△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結DF，CF，如圖，利用SAS證明△FAD≌△DBC，再利用全等三角形的性質得出FD=DC，FDC=90°．故△CDF是等腰直角三角形，從而推出∠FCD=45°，由AF∥CE，且AF=CE，推出四邊形AFCE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得出AE∥CF，根據平行線的性質得出結論。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的判定的相關知識，掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等，以及對平行四邊形的判定與性質的理解，了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．