Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點D，E，連接AD．已知∠CAD＝∠B．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1)解答時先根據角的大小關系得到∠1＝∠3，根據直角三角形中角的大小關系得出OD⊥AD ，從而證明AD為圓O的切線；(2)根據直角三角形勾股定理和兩三角形相似可以得出結果

（1）證明：連接OD，

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠B，

∵∠B＝∠1，

∴∠1＝∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，

∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，

∴OD⊥AD，

則AD為圓O的切線；

（2）過點O作OF⊥BC，垂足為F，

∵OF⊥BD

∴DF＝BF＝BD＝3

∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°

∴AD＝＝2

∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°

∴△BFO∽△ACD

∴=

即=

∴OB＝

∴⊙O的半徑為．